دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه:26
فهرست مطالب
ما همچنین به تعریف زیر نیازمندیم:
نکته 3-3- اثبات قضیه
فرضیه اصلی
ایده آل های خطی به ترتیب کوهن-مکوالی
چکیده- G را یک نمودار غیرمستقیم ساده n راسی در نظر بگیرید و بگذارید برایده آل خطی مرتبطش دلالت کند. مانشان می دهیم که تمام نمودارهای و تری G ، به ترتیب کوهن- مکوالی هستند ، دلیل ما بر پایه نشان دادن این است که دوگانه الکساندر I(G) ،خطی و ازمولفه است.
نتیجه ما فرضیه فریدی را که می گوید ایده آل درخت ساده شده به ترتیب کوهن- مکوالی، هرزوگ، هیبی، می باشد، وفرضیه ژنگ که می گوید یک نمودار وتری کوهن-مکوالی است اگر و تنها اگر ایده آل خطی اش در هم ریخته نباشد، را تکمیل می کند. ما همچنین ویژگی های دایره های مرتب کوهن- مکوالی را بیان می کنیم و نمونه‌هایی از گراف های مرتب غیروتری کوهن- مکوالی را هم ارائه می کنیم.
1-مقدمه
G را یک گراف ساده n راسی در نظر بگیرید پس G هیچ حلقه یا خطوط چندگانه ای پهن دو راس ندارد.) رئوس ومجموعه های خطی G توسط EG,VG را به ترتیب نشان دهید. ما ایده آل تک جمله ای غیر مربع چهارگانه با K که یک میزان است و جایی که را به G ارتباط می دهیم.ایده ال ایده آل خطی Gنامیده می شود.
توجه اولیه این مقاله ایده آل های خطی گراف های وتری است. یک گراف G وتری است اگر هر دایره طول یک وتر داشته باشد. اینجا اگر ،خطوط یک دایره طول n باشند، ما می گوییم که دایره وری یک وتر دارد اگر دو راس xj,xi در دایره به نحوی وجود داشته باشند که یک خط برای G باشند اما خطی در دایره نباشد.
ما می گوییم که یگ گراف G کوهن –مکوالی است اگر کوهن-مکوالی باشد. چنانکه هرزوگ، هیبی و ژنگ اشاره می کنند، طبقه بندی تمام گراف های کوهن-مکوالی شاید اکنون قابل کشیدن نباشند، این مسئله به سختی طبقه بندی کردن تمام مجموعه های ساده شده کوهن-مکوالی است.]9[.البته هرزوگ، هیبی و ژنگ در ]9[ ثابت کردند که وقتی G یک گراف وتری باشد،پس G در هر میدانی کوهن-مکوالی است اگر وفقط اگر به هم نریخته باشد.
ویژگی کوهن –مکوالی به ترتیب بودن، که شرایطی است ضعیف تر از کوهن-مکوالی بودن، توسط استنلی ]14[ در ارتباط با تئوری قابلیت جدا شدن غیرخالص [1] معرفی شد.
تعریف 1-1- را در نظر بگیرید. یک M معیار B درجه دار کوهن –مکوالی به ترتیب نامیده می شود اگر یک تصفیه معین از معیارهای R درجه بندی وجود داشته باشد.
به نحوی که کوهن –مکوالی باشد، و ابعاد کرول خارج قسمت در حال افزایش باشند:
ما میگوییم یک گراف G کوهن-مکوالی به ترتیب است و در K اگر کوهن-مکوالی به ترتیب باشد. ما می توانیم به نتیجه هرزوگ، هیبی و ژنگ بر سیم البته با استفاده از این تضعیف شرایط کوهن-مکوالی. نتیجه اصلی ما فرضیه زیر است (که مستقل از خاصیت (K) است.
فرضیه 2-1 فرضیه 2-3.تمام گراف های وتری کوهن-مکوالی به ترتیب هستند.
بنابراین حتی گراف های وتری که ایده آل های خطی نشان در هم نریخته نیستند نیز هنوز یک ویژگی جبری را دارا هستند.فرضیه 2-3 همچنین حالت یک بعدی کار فردی در توده های ساده شده ]3[ را نیز عمومیت می بخشد.
مقاله ما به صورت زیر سازمان می یابد. در قسمت بعدی ، ما نتایجی از این ادبیات درباره دوگانگی الکساندر ودرباره گراف های وتری جمع می کنیم. در بخش 3،فرضیه 2.3 را ثابت می کنیم.
ما برخی از گراف های غیروتری در قسمت 4 را که دایره های کوهن-مکوالی را به ترتیب طبقه بندی می کنند بررسی می کنیم و در مورد برخی ازویژگی های گراف‌های شامل دایره های –n برای n>3 تحقیق می کنیم.
همچنین شرایط کافی را برای گرافی که نمی تواند کوهن-مکوالی به ترتیب باشد ،ارائه می کنیم.
2-اجزا مورد نیاز
درطول این مقاله، G بر یک گراف ساده روی رئوس n با مجموعه نقطه ای VG ومجموعه خطی EG دلالت می کند. ایده آل خطی ،جایی که را به G مربوط می سازیم.
گراف کامل در رئوس n که بر Kn دلالت شده است،گرافی است با مجموعه خطی ، یعنی گراف این ویژگی را دارد که خطی بین هر جفت رئوس وجود دارد. اگر x نقطه ای در G باشد باید بنویسیم N(x) که بر همسایه‌های x دلالت کند،یعنی آن رئوسی که خطی را با x شریکند. ما ابتدا باید به حالتی توجه کنیم که G یک گرافی وتری است.گراف های وتری ویژگی زیر را دارند:
لم 21- G,[6,7,12,15] را یک گراف وتری در نظر بگیرید، x را یک زیر نمودار کامل از G در نظر بگیرید.اگر ،پس نقطه ای به نام وجود داردکه زیرگراف به وجود آمده توسط مجموعه همسایه مربوط به x، یک گراف کامل باشد. این امر همچنین زیر نمودار به وجود آمده در را وادار می کند که یک زیر گراف کامل باشد.
یک پوشش راس گراف G یک زیر مجموعه از VG است به نحوی که هر خط G حداقل به یک راس A برخوردار داشته باشد. توجه کنیدکه ما هیچ وقت به داشتن یک راس مجزا در پوشش راس نیاز نداریم.
مثلا ، اگر ما گرافی در سه راس داشته باشیم و تنها خط موجود باشد، پس هر دو پوشش های راس هستند. پوشش های راس یک گراف G به دو گانه الکساندر مربوطند.
تعریف 2-2- I را یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع در نظر بگیرید. دوگانه الکساندر غیرمربع ایده آل
است.
پس نتیجه ساده ای گرفته می شود:
لم 3-2- G را یک گراف ساده با ایده آل خطی در نظر بگیرید.پس
یک پوشش راس برای G است.
یک تجزیه درجه بندی شده آزاد حداقل به هر ایده آل همگون I از R مرتبط است.
که در آن R(j) بر معیار R به دست آمده از تغییر درجات R توسط j دلالت می کند. عدد ij,Bi,j(I) امین عدد درجه بندی شده «بتی» مربوط به Iاست و برابر تعداد حداقل مولد های درجه j در I امین معیار یک جفتی است.
تعریف 4-2-فرض کنید که I ایده آل همگون R است که تمام مولدهایشان در جه d دارند. پس I یک تجزیه خطی دارد اگر تما برای تمام برای یک ایده آل همگون I ، ما (Id) را می نویسیم که بر ایده آل تبدیل شده توسط تمام عناصر که درجه d دارند،دلالت می کند. توجه کنید که (Id) با Id فرق می کند، که فضای برداری تمام عناصر I با درجه d است.هرزوگ وهیبی تعریف زیر را در ]7[ معرفی کردند.
تعریف 5-2-یک ایده آل همگون I خطی و از مولفه است اگر (Id) یک تجزیه خطی برای تمام d4 داشته باشد.
اگر I توسط تک جمله ای های غیرمربع تبدیل شود،بگذارید I(d) بر ایدهآل تبدیل شده توسط تک جمله های غیر مربع درجه d برای I دلالت کند. هرزوگ وهیبی ] 7،قضیه 5-1[ نشان دادند که :
فرضیه 6-2-فرض کنید I یک ایده آل تک جمله ای تبدیل شده توسط تک جمله های غیرمربع باشد.
پس I خطی و از مولفه است اگر وتنها اگر I[d] یک تجزیه خطی برای تمامی d ها داشته باشد.
یک فرد می تواند از خارج قسمت های خطی برای تعیین اینکه ایده آل یک تجزیه خطی دارد استفاده کند.
تعریف 7-2- I را ایده آل تک جمله ای R در نظر بگیرید. می گوییم که I خارج قسمت های خطی دارد اگر برای برخی ترتیب های مولد های حداقل I با
درجه
توسط یک زیر مجموعه تبدیل شود.
سپس ما به ]لم [3,5-2 نیازمندیم:
لم 8-2-اگر یک ایده آل تک جمله باشد که خارج قسمت های خطی داشته باشد، و تمامی uiها درجه یکسانی داشته باشند.در نتیجه I یک تجزیه خطی دارد.
ما این سمت را با استفاده از این نظرها برای ایده آل های خطی به پایان می بریم.
لم 9-2-اگر ایده آل خطی گراف G باشد در نتیجه
یک پوشش راس برای G در اندازه d است.
اثبات. چون توسط پوشش های راس حداقل تبدیل شده است،هر حداقل غیرمربعی از درجه d در به مجموعه ای از رئوس d مرتبط است که شامل یک پوشش راس حداقل باشد و در نتیجه رئوس d نیز یک پوشش راس بر G را تشکیل می دهند.
لم را یک گراف کامل در رئوس n در نظر بگیرید. برای هر d، خارج قسمت های خطی دارد، در نتیجه خطی وهم جهت مولفه است.
اثبات: ما نشان میدهیم که برای هر d ، خارج قسمت های خطی دارد وبنابراین یک تجزیه خطی دارد که یعنی خطی هم جهت مولفه توسط فرضیه 6-2- است.
پوشش های رئوس حداقل kn همگی زیر مجموعه های با اندازه n-1 هستند. بنابارین توسط لم 9-2 ، وقتی که d=n ، یک ایده آل اصلی است. این حالات به میزان ناچیزی خارج قسمت های خطی دارند. بنابراین برای نشان دادن اینکه که خارج قسمت های خطی دارد. کافی است.
توجه کنید که به میزان حداقل توسط تمامی تک جمله ای های درجه n-1 تبدیل شده اند و بنابراین .حالا یک ایده آل تک جمله‌ای غیرمربع ثابت قوی است (همچنین یک ایده آل و رنس غیرمربع در حالت ]8[ است.بنابراین خارج قسمت های خطی دارد اگر کسی تک جمله ها را به ترتیب واژه نویسی پایین آمدنی مرتب کند.
نکته 11-2-یک اظهارنامه عمومی تر از لم 10-2 صحیح است. J را کوچکتر یا مساوی n بگیرید و بگیرید. ما میتوانیم ایده آل هایی را در نظر بگریم که مولفه هایشان تمامی ایده آل ممکن تولید شده توسط j مربوط به متغیرهای n باشند:
ما میتوانیم این ایده آل را به صورت دو گانه ای استنلی –رسند یک مجموعه ساده شده با تمامی صورت های ممکن (j-1) اما نه صورت های j یا به بصورت ایده آل سطح یک مجموعه ساده شده با تمامی صورت های ممکن j به مانند سطح هایش مشاده کنیم. I به صورت حداقل توسط تمامی تک جمله ای های غیرمربع درجه n-j+1 تبدیل می شود ودر نتیجه یک ایده آل غیرمربع و رسن است. بنابراین I یک تجزیه خطی دارد و درنتیجه خطی و درجهت مولفه است.
برای آخرین لم،نشان می دهیم که برای تعیین اینکه خطی و درجهت مولفه است، باید شرایط را به صورتی کاهش دهیم که در آن گراف G هیچ راس جدایی نداشته باشد.
لم 12-2-G را یک گراف ساده روی رئوس n با ایده آل خطی در نظر بگیرید. H را گراف G که به رئوس مجزای x+1,…,xn به آن اضافه شده در نظر بگیرید.
فرض کنید که خطی و هم جهت مولفه باشد. پس خطی وهم جهت مولفه است.
اثبات. توجه کنیدکه ایده آل های خطی H,G مولدهای حداقل یکسانی دارند، گرچه در حلقه های مختلفی موجودند. بنابراین مولدهای حداقل یکسانی دارند. توسط لم 9-2-6 چون خطی وهم جهت مولفه است ، نیز خطی و درجهت مولفه است.
3-فرضیه اصلی
در این بخش ما نتیجه اصلی این مقاله را ثابت می کنیم. اثبات ما به نتیجه بعدی هرزوگ و هیبی ]7[ وهرزوگ، رنیز و واکد ] 10[ که نکات خطی بودن درجهت مولفه و کوهن-ماکوالی به ترتیب بودن را به هم متصل می کند، ارتباط دارد.
فرضیه 1-3-I را یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع از Rدر نظر بگیرید.پس R/I به ترتیب کوهن-ماکوالی است اگر وتنها اگر خطی و در جهت مولفه باشد.
ما به نتیجه اصلی مان رسیده ایم.
فرضیه 2-3-تمامی گراف های وتری به ترتیب کوهن-مکوالی هستند.
اثبات .G را یک گراف وتری در نظر بگیرید. فرضیه 1-3 برای نشان دادن اینکه خطی ودر جهت مولفه است کافی است. برای نشان دادن اینکه خطی و در جهت مولفه است، ما دلیلمان را بر پایه اثبات فریدی (فرضیه 4-5) قرار داده ایم که می گوید بخش غیرمربع ایده آل سطح یک انبوه ساده شده خارج قسمت های خطی در هر درجه ای دارد. در فرضیه 6-2- ما نیاز داریم نشان دهیم که یک تجزیه خطی برای هر d دارد. لم 8-2 کافی است نشان دهد خارج قسمت های خطی برای هر d دارد.
ما روی تعداد رئوس در گراف وتری توجه می کنیم. با توجه به لم 12-2 ،میتوانیم فرض کنیم که G هیچ راس جدایی ندارد. بنابراین اولین حالت برای بررسی هنگامی است که ما گراف G در 2 راس متصل به خط داشته باشیم. در این حالت G=k2 ،پس خارج قسمت های خطی برای هر d (با توجه به لم 10-2) دارد.
حال فرض کنید که G یک گراف وتری در رئوس باشد که هیچ نقطه راس مجزایی نداشته باشد پس G حداقل دو خط دارد.اگر G=kn در نتیجه ما طبق لم 10-2 عمل کرده ایم.پس ما میتوانیم فرض می کنیم که G کامل نیست. (مثلا ،k را هر خطی از G بگیرید، وسپس x نقطه راسی خواهد بود که بر آن خط مماس نیست.) بنویسید ملاحظه کنیدکه باید وتری باشد. توجه کنیدکه ممکن است یک راس جدا( یا رئوس جدا) باشد؛ در این حالت، ایده آل خط،ایده آل صفر است.
حالا با توجه به لم 9-2 ، به تک جمله های غیرمربعی تبدیل می شود که به پوشش های رئوس G به اندازه های d مربوطند. توجه کنید که هر پوشش راس از G باید زیرگراف کامل kt+1 تشکیل شده توسط را بپوشاند.پس هر پوشش راسی باید حداقل شامل رئوس باشد.
اگر یک پوشش راس G باشد که شامل x است ،پس باید یک پوشش راس باشد.اگر یک پوشش راس شامل نباشد پس باید شامل باشد.اما سپس \ باید یک پوشش راس باشد. (در این حالت وقتی که این زیرگراف یک راس جدا باشد، در نتیجه . هیچ خطی موجودنیست، مجموعه خالی یک پوشش راس است. همانطور که در هر زیر مجموعه از از رئوس است.
را در نظر بگیرید را ایده آل خطی به ترتیب آنها در نظر بگیرید. از بحث بالا نتیجه می گیریم که
را به عنوان ایدهآل های R با مولد های یکسان مانند ملاحضه می کنیم.
چون H2,H1 هر دو وتری و با رئوس کمتری از G هستند، با استنباط، خارج قسمت های خطی دارند. فرض می کنیم که Bis , Ais در ترتیب درست برای خارج قسمت های خطی نوشته شده اند. ما اکنون نشان می دهیم که
خارج قسمت های خطی با درنظر گرفتن این ترتیب مولدهای دارد.
چون واضح است که خارج قسمت های خطی دارد، ما باید چک کنیم که ایده آل زیر به خارج قسمت های خطی داشته باشد:
نخست توجه کنید که چون B1 به یک پوشش راس G\{x} مرتبط است ،B1 حداقل با t-1 از قابل تعبیه است. پس حداکثر یک y به صورت y(B) وجود دارد.
حال فرض کنیم که pyAj , mxB1 غیرمربع هستند. دو حالت برای توجه کردن وجود دارد.
حالت 1- اگر y\B1 ،پس چون B1 به یک پوشش راس G\{x} مرتبط است، به یک پوشش راس به اندازه d-t-1 از مرتبط است. پس . توجه کنیدکه اگر یک متغیر z\m ،پس z باید متغیری ز حلقه باشد. از طرف دیگر نباید غیرمربع باشد. پس،برای هر متغیر z که z\m ، ، و بنابراین بنابراین (برای هر z که بر m را تقسیم شود).
حالت 2-فرض کنید y\B1 .ملاحظه بالا، وجود دارد که .چون mxB=pyAg1و چون ، قسمت دست راست را تقسیم می کند، باید داشته باشیم .توجه کنید که پوشش G با اندازه d با پوششی از H2 با اندازهd-t است.بنابراین . در نتیجه .
دو حالت بالا نشان می دهند که ، خارج قسمت خطی دارد. بریا خاتمه دادن به اثبات باید چک کنیم که آیا توسط زیر مجموعه از متغیرهای تبدیل شده است یا خیر. اگر برای چند تک جمله ای mباشد، پس چون خارج قسمت های خطی دارد، یک متغیر xi وجود دارد که m را چنان تقسیم می کند که . اگر یک تک جمله ای m وجوددارد که mxBi ، بحث بالا می تواند تکرار شود.
نکته 3-3- اثبات قضیه 2-3 نشان میدهد که گراف های وتری،کوهن-مکوالی هستند البته صرف نظر از خا صیت K، چون ویژگی خارج قسمت های خطی از K مستقل است. فریدی ]4[ نشان داد که اگر I هر ایده آل تک جمله ای باشدکه به ترتیب کوهن مکوالی است،پس جمع کردن I ، یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع مربوط به I ، نیز به ترتیب کوهن مکوالی است. بنابراین اگرI هر ایده آل تک جمله ای باشد که جمع کردن آن ایده آل خطی یک گراف وتری است، I باید به ترتیب کوهن-مکوالی باشد.
به خاطر بیاورید که گراف G اگر هیچ دایره ای نداشته یک توده است. یک توده ، یک نمونه از گراف وتری است.پس داریم:
نتیجه پیامد 4-3-اگر G یک توده باشد ،پس G به ترتیب کوهن مکوالی است.
نکته 5-3-در ]3[ فریدی ثابت کردکه اگر ایده آل سطح انبوده ساده شده باشد، سپس به ترتیب کوهن-مکوالی است. وقتی توده ساده شده بدا را دارد، پس به سادگی ایدهآل خطی یک توده است. پس نتیجه ما میتواند به صورت یک کلیت بخشی نسبی به نتیجه فریدی باشد.
4-به ترتیب کوهن-مکوالی بودن و گراف وتری
در بخش قبلی نشان دادیم که اگر G یک گراف وتری باشد پس به ترتیب کوهن-مکوالی است.
حالا حالتی که آن G وتری نیست را بررسی می کنیم. همان طور که نشان میدهیم ، می تواند به ترتیب کوهن-مکوالی باشد یا نباشد.
با یک طبقه بندی n دایره ای با ترتیب کوهن-مکوالی شروع می کنیم.
قضیه 1-4-G را یک n دایره برای در نظر بگیرید. پس G به ترتیب کوهن-مکوالی است اگر وفقط اگر 5 یا 3=n . درواقع وقتی 5 یا 3=n ، n دایره، کوهن-مکوالی است.
اثبات.چون یک 3دایره وتری است ،نتیجه برای 3=n از فرضیه 2-3 پیگیری می شود و دیدن کوهن –مکوالی بودن راحت است. وقتی n=5 گرنشاین [2]است.
حالا فرض کنید برای ماخطوط 2r برای پوشش داریم، وهرراسی به دقیقا هر دو خط مماس است .بنابراین حداقل نقطه اصلی پوشش راس r است و شاخص های فرد و شاخص های زوج ، حداقل 2 پوشش های راس هستند. در نتیجه که یک نیم بری کامل تک جمله های درجه است. و بنابراین یک تجزیه خطی ندارد. بنابراین خطی و به جهت مولفه نیست، و G به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.
برای محاسبه اعداد y Betti را محاسبه کنیم، از هومولوژی (همگون سازی) ساده شده استفاده می کنیم. یک بردار غیرمربع را برای یک بردار با مدخلش در {0,1} تعریف کنید.
بگذارید M یک ایدهآل تک جمله ای باشد و
{بردارهای غیرمربعc مانند
این مجموعه بالایی ساده شده کوزل M مثلا در (12) تعریف شده است. ما میتوانیم اعداد بتی درجه Nn مربوط به M را با نسبت از (تئوری 34-1) محاسبه کنیم. جمع کردن تمام b های غیرمربع بادرجه j و Bij(M) را به دست میدهد.
یا نشان می دهیم که ، که ثابت می کند J یک تجزیه خطی ندرد (وقتی . یگ بردار غیرمربع واحد ،مرتبط با درجه b=(1,…,1) , 2r+1 وجوددارد که به حداقل مربوطند. در اینجا یک مجموعه زنجیره ای داریم
در زیر ، ما باید از نکته پایین استفاده کنیم: اگر یک بردار با مدخل هایی در {0,1} مربوط به صورتی در مجموعه ساده شده مان باشد،غالبا باید صورت را به صورت بنویسیم، که در آن jt دقیقا مدخل های غیرصفر مربوط به می باشد و
تمامی صورت هایی که با آنها کار می کنیم، حداکثر دو بعد دارند .ما صورت ها را به نحوی میگردانیم که اگر را در مسیر مثبت و رادر جهت منفی قرار دهیم. به طور مشابه ما خطوط را به نحوی هدایت میکنیم که رفتن از xi0 به xi1 در جهت مثبت باشد.
برای یافتن ، ما نیازمند حساب کردن هستیم. اگر بتوانیم عنصری در ایجادکنیم که در نباشد، نشان داده ایم.
که . ما باید به پوشش های رئوس وتک جمله ای مرتبط پایین به صورت متغیر رجوع می کردیم.
نخست فرض کنید که 2r+1>v ،ما حالت 2r+1=v را به طور جداگانه انجام می دهیم. ما نخست ادعا می کنیم که . اگر بود ،پس باید یک پوشش راس حداقل وجود داشته باشد که آن را تقسیم کرده باشد. اما بعد را تقسیم می کند چون وجود ندارند. برای پوشاندن خطوط9-27 باقی مانده ای که پوشانده نشده اند حداقل به رئوس 4-r نیازمندیم. این یعنی اینکه درجه ،اما همه پوشش های رئوس حداقل وبنابراین حداقل تولید کننده های j درجه r+1 دارند. (توجه کنیدکه وقتی 2r+1=9 ، حداقل تولید کننده های J درجه 5 دارند ، و درجه 6 دارند.بنابراین بعد نشان میدهیم که در J هستند.
برای اثبات این امر باید نشان بدهیم که یک پوشش راس حداقل هر یک از این تک جمله ای ها را تقسیم می کند. درنخستین حالت از استفاده کنید ؛ در دومی عمل می کند. و در آخری از استفاده کنید.
بنابراین خطوط هستند، اما صورتی از نیست. بنابرین در تصویر وجود ندارد.
البته ،
بنابراین f در قسمت است و سپس J یک تجزیه خطی ندارد.
وقتی 2r+1=7 مباحث کمی متفاوتی نیاز داریم. یک فرد می تواند حساب کند که در این حالت ،دوگانگی الکساندر به صورت زیر است.
و تجزیه آزاد حداقل درجه را دارد:
بدلیل جفت دوم دردرجه هفتم، یک تجزیه خطی ندارد. بنابراین G به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.
نکته 2-4-قضیه 1-4 مستقل از خاصیت K است.توجه کنید که اگر k ویژگی اولیه داشته باشد،اعداد درجه بندی شده بتنی R/J مانند حالت در صفر هستند یا بالا می روند، به این دلیل است که رفتار برای بعد گروه های هومولوژی که ما حساب کرده ایم، یکسان است. ابعاد گروههای هومولوژی در ویژگی p>0 با حالت صفر یکسان هستند یا ممکن است اگر یک قسمت پیچش p معرفی می شود، افزایش یافند. برای نمونه ، قسمت پایانی بحث ضرایب جهانی را در فصل 9و13 ببینید. بنابراین برای تمامی حالت های k داریم
حالت 5 دایره ای نشان میدهد که عکس فرضیه 2-3 نادرست است .گراف های غیروتری بسیاری هستند که به ترتیب کوهن-مکوالی می باشند. ما اینجا دونمونه ساده می آوریم تا نشان دهیم که تغییرات کوچک در گرافی که به ترتیب کوهن-مکوالی نیست میتواند گرافی را به دست بدهد که چنین ویژگی را داراست.
مثال 3-4-G را در 4-دایره در نظر بگیرید و H را گراف G با یک راس پنجم که توسط یک خط واحد به G متصل شده است فرض کنید.بنابراین ,
با توجه به قضیه 1-4-، G به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.دوگانه الکساندر اینگونه است:
چک کردن این که خطی و هم جهت مولفه است راحت است چون عملگر واحدی در درجه 2 ونظم 3 دارد. بنابراین H به ترتیب کوهن-مکوالی است.
مثال 4-4- به عنوان یک مسئله کمی پیچیده تر، فرض کنید که G یک 6 دایره است و ماگراف H را با اضافه کردن یک راس هفتم واتصال آن به دو راس مجاور G به دست می آوریم.
بنابراین :
وهمچنین:
یک فرد می تواند در ملکوالی 2 چک کند که خطی و به جهت مولفه است ،پس H به ترتیب کوهن-ملکوالی بودن خارج قسمت ها توسط ایده آل های تک جمله ای با تو جه به Daral [2] سود می برد.
به خاطر بیاورید که یک عنصر و جایی که یک مجموعه ساده شده است، یک صورت نامیده می شود. بعد صورت F ، است. بعد در نتیجه می باشد. ما می نویسیم ،تا زیر مجموعه که صورت های بیشینه اش (صفحات ) تمامی صورت هایی بعد I هستند را نشان دهیم.
فرضیه 5-4 ] 2، فرضیه 3-3[ .I را یک ایده آل تک جمله ای غیرمربع فرض کنید و را مجموعه ساده شده تعریف شده توسط I از طریق تناظر استنلی، رسیند در نظر بگیرید. تا را زیر مجموعه I بعدی خالص در نظر بگیرید. پس R/I به ترتیب کوهن-مکوالی است اگر وتنها اگر هر کوهن –مکوالی باشد.
ما همچنین به تعریف زیر نیازمندیم:
تعریف 6-4- اگر مجموعه ساده شده ای از بعد d-1 باشد پس بردار f در جایی که fi تعداد صورت های بعد I است (جایی که .
اگر
سری های هیلبرت –پوینکر باشد، در نتیجه بردار به صورت است.
تکمیل یک گراف G که با نشان داده شده است. گرافی است با مجموعه رئوسی یکسانی چون G ، اما با مجموعه خط
فرضیه 7-4-G را به عنوان یک گراف ساده در نظر بگیرید. H2 را مجموعه رئوس جدای Gc و در نظر بگیرید (پس ،اتحاد غیر متصل است).
اگر در نتیجه به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.
اثبات. چون یک ایده آل تک جمله ای غرمربع است، همچنین با یک مجموعه ساده شده از طریق تناظر استنلی – رسیند مرتبط است. به ویژه ، است جایی که یک مجموعه گروه مرتبط با است.بگذارید زیر مجموعه 1بعدی خالص را نشان دهد.حالا به سادگی اسکلت است که یعنی این یک گراف می باشد. به طور مشخص، چون یک گراف است، بردار f به صورت است.
با استفاده از نسبت بین بردارهای F و h همان طور که در صفحه 56 کتاب استنلی داده شده است داریم:
اگر ، در نتیجه یک ترتیب نیست (تمام مقادیر باید مثبت باشند).پس توسط (نتیجه پیامد 2-3) کوهن –مکوالی نیست چون بردار h یک حلقه کوهن-مکوالی استنی –رسیند باید یک ترتیب 0 باشد. بنابراین با توجه به فرضیه 5-4، به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.
مثال 8-4-نتایج بالا توجیهی دیگر برای این است که چرا 4-دایره به ترتیب کوهن-مکوالی نیست.
چون ، گراف دو خط دارد، اما 4 راس دارد، پس نمی تواند به ترتیب کوهن مکوالی باشد چون
