لینک پرداخت و دانلود *پایین صفحه*
فرمت فایل : Word(قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه : 46
فهرست مطالب:
ریاضیات مهندسی
فصل اول: بررسی های فوریه:
توابع متناوب:
توابع متاعد:
بسط توابع دوره تناوب 2P
بسط تابع با دوره تناوب 2v
بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
توابع زوج و فرد و یک سری فوریه
شکلهای مختلف نمایش سری فوریه:
بسط نیم دور:
انتگرال فوریه:
اعداد مختلط:
نمایش اعداد مختلط:
اعداد مختلط و مختصات قطبی:
در یک تابع مختلط:
توابع مختلط ویژه:
محاسبه تابع z1/n (تابع ریشه):
فصل اول: بررسی های فوریه:
مقدمه: تفکیک یک تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یک سری گسترده از توابع دارای بورد کاربردی مختلف در ریاضی و فیزیک است، یکی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیک مثلثاتی با فرکانسها و دامنه ای مختلف است. در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با کاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.
1-1- توابع متناوب: اگر شکل تابع در فواصل منظم تکرار شود آنرا تناوب گوئیم.
در مورد یک تابع متناوب می توان نوشت:
(1) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.
براساس این تعریف ملاحظه می شود که اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی که به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.
(2) h = af + bg
sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2
Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2P
Cos x P
بنابراین دوره تناوب تابع مذکور 2P می باشد.
به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر 2P خواهد بود.
(3)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهای بعد دیده می شود که می توان برای تابعی با دوره تناوب 2P ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یک سری مثلثاتی مثل رابطه (3) پیدا کرد.
مثال: کوچکترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
حد یک تابع مختلط:
برای انکه ثابت کنیم حد تابع f(z) در z=z0 برابر f(z0) است باید ثابت کنیم.
بدین ترتیب برای داوری در مورد مقدار حد یک تابع از این رابطه آغاز نموده و با استدلال رابطه ای به صورت بدست می آوریم. اگر در این رابطه برای انتخاب به ازای مقادیر مختلف محدودیتی وجود نداشته باشد آنگاه حد برقرار است. مثلا اگر بدست آوریم آنگاه حد برقرار نمی باشد.
مشتق یک تابع مختلط:
هرگاه حد زیر موجود باشد آنرا مشتق تابع f(z) در نقطه z گویند و آن را با f(z) نمایش می دهند
به طوری که ملاحظه می شود تعریف مشتق اعداد مختلط مشابه تعریف آن در مورد اعداد حقیقی است. بنابراین مادامی که تابع f(z) متغیری به جز z نداشته باشد، روابط مشتق گیری شبیه به روابط مربوط به توابع حقیقی است. مثلا مشتق تابع z2 برابر 2z خواهد شد.
در شرایطی که تابع مختلط فقط برحسب z نباشد با اعمال مستقیم تعریف مشتق می توانیم روابط مشتق را استخراج کنیم. مثلا در مورد مشتق برابر است با:
که مقدار آن در صفر بستگی به نحوه نزدیک شدن z به سفر دارد.
اگر صفر باشد مقدار آن برابر 1 و اگر صفر باشد مقدار آن 1- است. این مثال یک نکته مهم دارد و آن این که نباید فراموش کنیم اعداد مختلط یک کمیت دو بعدی هستند وقتی به نزدیک شدن z به z0 را کوچک بودن اشاره می شود، منظور یک تقویت دو بعدی است.
عملیات مشتق گیری در واقع نوعی حد گیری است، بنابراین براساس تعریف حد حاصل مشتق گیری نباید به جهت نزدیک شدن z به بستگی داشته باشد. این شرط به قضیه کوشی- ریمان منجر می شود:
قضیه: اگر w=u(x,y)+iv(x,y) آنگاه w در z مشتق پذیر است اگر در آن نقطه داشته باشیم:
و بالعکس اگر این شرط برقرار باشد، در این صورت در آن نقطه w دارای مشتق است.
تابعی که در نقطه دارای مشتق است و یا به عبارتی شرط کوشی ریمان را دارد، در تحلیلی یا منظم نامیده می شود.
تحقیق در مورد ریاضیات مهندسی
